Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓的右焦點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意，橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，得出，根據(jù)得出，再根據(jù)點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可求出和，從而得到橢圓的方程；

（2）根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得出直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，求得或，從而得出，，以及弦長(zhǎng)，通過得出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到直線的距離，即可求得的面積.

解：（1）設(shè)橢圓的焦距為，

∵橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，

∴①

∵點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，

∴②

由①、②解得：，，

∴橢圓的方程為，

（2）由直線過橢圓的右焦點(diǎn)且斜率為的直線的方程為：

，而直線交橢圓于，兩點(diǎn)，

代入，消去，整理得：，

解得：或，

∴，，

∴，

∵，∴，

即，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)，

∴點(diǎn)到直線的距離，

所以的面積.