Question

已知{a_n}，{b_n}為兩個數列，點M(1，2)，An(2，an)，Bn(

n-1

n

，

2

n

)為坐標平面上的點．
（Ⅰ）對n∈N*，若點M、A_n、B_n在同一直線上，求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足

a   1 b1+a2b2+…+anbn

a1+a2+…+an

=2n-3，求數列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據M，A_n，B_n共線，可得kMAn=kMBn，解此方程即可求得結果；
（Ⅱ）根據（I）可求出a₁+a₂+…+a_n，從而得到a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=n（n+1）（2n-3），根據數列前n項和與數列通項公式的關系，即可求得結果．

解答：解：（Ⅰ）∵M，A_n，B_n共線，
kMAn=kMBn，
∴an-2=

2 n -2

n-1 n -1

=2n-2，
∴a_n=2n；
（Ⅱ）∵a_n=2n，
∴a₁+a₂+…+a_n=n（n+1）
即a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=n（n+1）（2n-3）
當n=1時，a₁b₁=1×2×（-1），∴b₁=-1
當n≥2時，a_nb_n=n（n+1）（2n-3）-（n-1）n（2n-5）=2n（3n-4）
∴b_n=3n-4（n=1也成立）
綜上：b_n=3n-4，Sn=

3n2-5n

2

．

點評：此題考查學生靈活運用數列的遞推式求通項公式時，應注意經驗首項是否滿足通項，考查分析解決問題的能力和運算能力，屬中檔題．