Question

已知{a_n}、{b_n}為兩個數列，其中{a_n}是等差數列，且a₂=4，a₈=16．
（1）求數列{a_n}的前n項和S_n；
（2）若數列{b_n}滿足

a1b1+a2b2+…+anbn

a1+a2+…+an

=2n-3，求數列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）根據等差數列的通項公式列出關于a₁，d的方程組，求出 a₁，d 后即可求出數列{a_n}的前n項和S_n ；
（2）在（1）的結果S_n=n²+n  得出a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n=（n²+n）（2n-3），a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n+a_n+1b_n+1=[（n+1）²+（n+1）][2（n+1）-3]，兩式相減得到a_n+1 b_n+1=6n²+4n-2．，再除以a_n+1，求出b_n+1=3n-1 即當n≥2時，bn=3n-4，再考慮n=1情形，做出最后解答．

解答：解：（1）設{a_n}的首項為a₁，公差為d，由已知，

a1+d=4 a1+7d=16

解得a₁=2，d=2，∴a_n=2n，S_n=n²+n
（2）由已知

a1b1+a2b2+…+anbn

Sn

=2n-3，
∴a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n²+n）（2n-3）①
a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n+a_n+1b_n+1=[（n+1）²+（n+1）][2（n+1）-3]②
②-①得a_n+1 b_n+1=6n²+4n-2．而a_n+1=2n+2，
∴b_n+1=3n-1，當n≥2時，bn=3n-4，
又n=1時，b₁=2×1-3=-1，也適合上式
∴b_n=3n-4．

點評：本題考查數列的通項公式求解，等差數列的前項和計算，考查轉化、構造、計算能力．