Question

如圖，在側棱垂直于底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC為等腰直角三角形，∠B=90°D為棱BB₁的中點．
（1）求證：面DA₁C⊥面AA₁C₁C；
（2）若二面角A-A₁D-C的平面角為60°，求

AA1

AB

的值．

Answer 1

分析：（1）連接A₁C與AC₁交于點F，連接EF，欲證平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C，根據面面垂直的判定定理可知在平面A₁EC內一直線與平面AA₁C₁C垂直，而根據線面垂直的判定定理可得EF⊥面AA₁C₁C，滿足定理條件；
（2）先作出相應的輔助線，作出二面角的平面角，利用角為60°建立方程，即可求出比值．

解答：證明：（1）取A₁C的中點E，取AC的中點F，連接EF，DE，BF．
則由條件可得DE∥BF，又面BAC⊥面AA₁C₁C且交于AC，∴BF⊥AC，
BF⊥面AA₁C₁C，∴DE⊥面AA₁C₁C
而DE?面DA₁C，所以平面DA₁C⊥平面AA₁C₁C．
（2）延長DA₁交AB的延長線于點G，則有CB⊥平面AA₁B₁C
過B作BH⊥A₁G于H，邊CH，則A₁G⊥CH，
所以∠CHB為二面角A-A₁D-C的平面角．
設AA₁=2b，AB=BC=a，在直角三角形A₁AG中，AB=BG，
在直角三角形DBG中，HB=

BD•BG

DG

=

ab

a2+b2

，
在直角三角形CHB中，tan∠CHB=

BC

BH

=

a2+b2

b

，
∴

a2+b2

b

=tan60°=

3

．
∴

2b

2

=

2

，
∴

AA1

AB

=

2

．

點評：本小題主要考查平面與平面垂直的判定，以及二面角及其度量等有關基礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查轉化思想，屬于基礎題．