Question

（本題滿分12分）如圖，在側棱垂直于底面的三棱柱中，點是的中點.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求三棱錐的體積.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

試題分析：（1）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面三邊長AC，BC，AB滿足勾股定理則AC⊥BC，又側棱垂直于底面ABC，則CC₁⊥AC，又BC∩CC₁=C，根據線面垂直的判定定理可知AC⊥面BCC₁，又BC₁⊂平面BCC₁，根據線面垂直的性質可知AC⊥BC₁．

（2）設CB₁與C₁B的交點為E，連接DE，根據D是AB的中點，E是BC₁的中點，可知DE∥AC₁，而DE⊂平面CDB₁，AC₁⊄平面CDB₁，根據線面平行的判定定理可知AC₁∥平面CDB₁；

（3）利用線面垂直得到幾何體的高，進而求解體積。

解：（1）證明：在中，

為，

…………………1分

又底面，底面，

……………………2分

平面

平面，……………………………………………………3分

而平面，

………………………………………………………………4分

（2）設交于點，連結

直三棱柱

四邊形是平行四邊形，是的中點……………………………5分

又是的中點，………………………………………………6分

而平面，平面，………………………………………7分

平面.………………………………………………8分

（3）連結，過點作，垂足為.

在中，………………………………9分

又直三棱柱

平面平面，而

平面平面平面

平面，即是三棱錐的高，…………………………11分

又………………………………………12分

考點：本試題主要考查了空間幾何體中線線垂直的證明，以及線面平行判定定理的熟練運用。

點評：解決該試題的關鍵是根據線面垂直的判定定理得到線線垂直，以及運用線面平行判定定理證明線面平行。同時結合前兩問的結論，作出幾何體的高。