Question

15．雙曲線C與橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{11}$=1有相等焦距，與雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{18}$-$\frac{{y}^{2}}{32}$=1有相同漸近線，則雙曲線C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{45}{4}}-\frac{{y}^{2}}{20}=1$．

Answer 1

分析 求出橢圓的焦距，得到雙曲線C的焦距，雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{18}$-$\frac{{y}^{2}}{32}$=1的漸近線，設出方程，求解即可．

解答 解：雙曲線C與橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{11}$=1有相等焦距，可得雙曲線C的焦距為：10，即c=5；焦點在x軸上，
雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{18}$-$\frac{{y}^{2}}{32}$=1有相同漸近線，可設雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{18}$-$\frac{{y}^{2}}{32}$=m，m＞0，
半焦距為：$\sqrt{18m+32m}$=5，解得m=$\frac{5}{8}$．
則雙曲線C的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{\frac{45}{4}}-\frac{{y}^{2}}{20}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{\frac{45}{4}}-\frac{{y}^{2}}{20}=1$．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質以及橢圓的簡單性質的應用，雙曲線方程的求法，考查計算能力．