Question

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)過點P(－1，－1)，c為橢圓的半焦距，且c＝b．過點P作兩條互相垂直的直線l1，l2與橢圓C分別交于另兩點M，N．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線l1的斜率為－1，求△PMN的面積；

（3）若線段MN的中點在x軸上，求直線MN的方程．

 

Answer 1

（1）;（2）2;（3）或．

【解析】

試題分析：（1）根據題意可得，且，加之的關系，可求得; （2）由于直線的斜率已確定，則可由其與橢圓方程聯立方程組，求出點M的坐標，因兩直線垂直，故當時，用代替，進而求出點N的坐標，得，再由兩點間的距離公式求出： ，即可求出的面積;（3）觀察本題條件可用設而不求的方法處理此題，即設出點，兩點均在橢圓上得：，觀察此兩式的結構特征是一致的，則將兩式相減得， 由題中條件線段的中點在x軸上，所以，從而可得，此式表明兩點橫坐標的關系：可能相等;可能互為相反數，分兩種情況分類討論：當時，再利用，可轉化為，進一步確定出兩點的坐標或，即可求出直線的方程為;同理當，求出直線的方程為．

試題解析：（1）由條件得，且，所以，解得．

所以橢圓方程為：． 3分

（2）設方程為，

聯立,消去得．

因為，解得．5分

當時，用代替，得． 7分

將代入，得．

因為，所以，

所以的面積為． 9分

（3）設，則

兩式相減得，

因為線段的中點在x軸上，所以，從而可得．12分

若，則．

因為，所以，得．

又因為，所以解得，所以或．

所以直線的方程為． 14分

若，則，

因為，所以，得．

又因為，所以解得，

經檢驗：滿足條件，不滿足條件．

綜上，直線的方程為或． 16分

考點：1.橢圓方程;2.直線與橢圓的位置關系