Question

已知函數f（x）=

x

1+x2

（1）判斷函數f（x）的奇偶性并證明；
（2）判斷f（x）在區間（-1，0）上的單調性并證明．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數奇偶性的定義即可判斷函數f（x）的奇偶性并證明；
（2）根據喊單調性的定義即可判斷f（x）在區間（-1，0）上的單調性并證明

解答： 解：（1）函數的定義域為R，
∵f（-x）=

-x

1+x2

=-

x

1+x2

=-f（x），
∴函數f（x）為奇函數；
（2）判斷f（x）在區間（-1，0）上的單調性并證明，
設-1＜x₁＜x₂＜0，
則f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=（x₁-x₂）•

(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

，
∵-1＜x₁＜x₂＜0，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，
∴f（x₁）＜f（x₂），
即f（x）在區間（-1，0）上單調遞增．

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的判斷，根據定義法是解決本題的關鍵．