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17.已知函數f(x)=loga|x+1|(a>0且a≠1),當x∈(0,1)時,恒有f(x)<0成立,則函數g(x)=loga(-$\frac{3}{2}$x2+ax)的單調遞減區間是(0,$\frac{a}{3}$].

分析 根據對數函數的性質可得當x∈(0,1)時,|x+1|>1,但loga|x+1|<0,故由對數函數的圖象知,0<a<1.恒有f(x)<0成立,由-$\frac{3}{2}$x2+ax>0,解得0<x<$\frac{2}{3}$a,在根據復合函數的單調性即可得到答案.

解答 解:由題意:當x∈(0,1)時,|x+1|>1,但loga|x+1|<0,故由對數函數的圖象知,0<a<1;
∵對數函數的真數要大于0,即-$\frac{3}{2}$x2+ax>0,解得:0<x<$\frac{2}{3}$a,
令t=-$\frac{3}{2}$x2+ax,開口向下,對稱軸x=$\frac{a}{3}$,
當x在(0,$\frac{a}{3}$]時增函數,x在[$\frac{a}{3}$,$\frac{2a}{3}$)時減函數.
根據復合函數的單調性“同增異減”可得:
x∈(0,1)時,恒有f(x)<0成立時,函數g(x)=loga(-$\frac{3}{2}$x2+ax)的單調遞減區間是(0,$\frac{a}{3}$].
故答案為:(0,$\frac{a}{3}$].

點評 本題考查了對數函數的性質的運用以及復合函數的單調性.屬于中檔題.

練習冊系列答案
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