Question

17．已知函數f（x）=log_a|x+1|（a＞0且a≠1），當x∈（0，1）時，恒有f（x）＜0成立，則函數g（x）=log_a（-$\frac{3}{2}$x²+ax）的單調遞減區間是（0，$\frac{a}{3}$]．

Answer 1

分析 根據對數函數的性質可得當x∈（0，1）時，|x+1|＞1，但log_a|x+1|＜0，故由對數函數的圖象知，0＜a＜1．恒有f（x）＜0成立，由-$\frac{3}{2}$x²+ax＞0，解得0＜x＜$\frac{2}{3}$a，在根據復合函數的單調性即可得到答案．

解答 解：由題意：當x∈（0，1）時，|x+1|＞1，但log_a|x+1|＜0，故由對數函數的圖象知，0＜a＜1；
∵對數函數的真數要大于0，即-$\frac{3}{2}$x²+ax＞0，解得：0＜x＜$\frac{2}{3}$a，
令t=-$\frac{3}{2}$x²+ax，開口向下，對稱軸x=$\frac{a}{3}$，
當x在（0，$\frac{a}{3}$]時增函數，x在[$\frac{a}{3}$，$\frac{2a}{3}$）時減函數．
根據復合函數的單調性“同增異減”可得：
x∈（0，1）時，恒有f（x）＜0成立時，函數g（x）=log_a（-$\frac{3}{2}$x²+ax）的單調遞減區間是（0，$\frac{a}{3}$]．
故答案為：（0，$\frac{a}{3}$]．

點評 本題考查了對數函數的性質的運用以及復合函數的單調性．屬于中檔題．