Question

8．某中學經市政府批準建分校，建分校工程分三期完成，確定由甲、乙兩家建筑公司承建此工程．規定每期工程僅由兩公司之一獨立承建，必須在前一期工程完工后再開始后一期工程．已知甲公司獲得第一期、第二期、第三期工程承包權的概率分別為$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）求甲公司至少獲得一期工程的概率；
（Ⅱ）求甲公司獲得工程期數比乙公司獲得工程期數多的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）記“甲公司至少獲得一期工程”為事件A，其對立事件為$\overline{A}$．利用對立事件概率計算公式能求出甲公司至少獲得一期工程的概率．
（Ⅱ）記“甲公司獲得第i期工程”為事件A_i（i=1，2，3），記“乙公司獲得第i期工程”為事件B_i（i=1，2，3），記“甲公司獲得工程期數比乙公司獲得工程期數多”為事件D，則P（D）=P（A₁A₂B₃）+P（A₁A₃B₂）+P（A₂A₃B₁）+P（A₁A₂A₃），由此能求出甲公司獲得工程期數比乙公司獲得工程期數多的概率．

解答 解：（Ⅰ）記“甲公司至少獲得一期工程”為事件A，其對立事件為$\overline{A}$．
則 P（A）=1-P（$\overline{A}$）=1-$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}$=$\frac{7}{8}$．
（Ⅱ）記“甲公司獲得第i期工程”為事件A_i（i=1，2，3），
記“乙公司獲得第i期工程”為事件B_i（i=1，2，3），
記“甲公司獲得工程期數比乙公司獲得工程期數多”為事件D，
則P（D）=P（A₁A₂B₃）+P（A₁A₃B₂）+P（A₂A₃B₁）+P（A₁A₂A₃）
=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}+\frac{2}{3}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×\frac{1}{3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$
=$\frac{11}{24}$．

點評 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意對立事件概率計算公式的合理運用．