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8.某中學經市政府批準建分校,建分校工程分三期完成,確定由甲、乙兩家建筑公司承建此工程.規定每期工程僅由兩公司之一獨立承建,必須在前一期工程完工后再開始后一期工程.已知甲公司獲得第一期、第二期、第三期工程承包權的概率分別為$\frac{2}{3}$,$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{4}$.
(Ⅰ)求甲公司至少獲得一期工程的概率;
(Ⅱ)求甲公司獲得工程期數比乙公司獲得工程期數多的概率.

分析 (Ⅰ)記“甲公司至少獲得一期工程”為事件A,其對立事件為$\overline{A}$.利用對立事件概率計算公式能求出甲公司至少獲得一期工程的概率.
(Ⅱ)記“甲公司獲得第i期工程”為事件Ai(i=1,2,3),記“乙公司獲得第i期工程”為事件Bi(i=1,2,3),記“甲公司獲得工程期數比乙公司獲得工程期數多”為事件D,則P(D)=P(A1A2B3)+P(A1A3B2)+P(A2A3B1)+P(A1A2A3),由此能求出甲公司獲得工程期數比乙公司獲得工程期數多的概率.

解答 解:(Ⅰ)記“甲公司至少獲得一期工程”為事件A,其對立事件為$\overline{A}$.
則 P(A)=1-P($\overline{A}$)=1-$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}$=$\frac{7}{8}$.
(Ⅱ)記“甲公司獲得第i期工程”為事件Ai(i=1,2,3),
記“乙公司獲得第i期工程”為事件Bi(i=1,2,3),
記“甲公司獲得工程期數比乙公司獲得工程期數多”為事件D,
則P(D)=P(A1A2B3)+P(A1A3B2)+P(A2A3B1)+P(A1A2A3
=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}+\frac{2}{3}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×\frac{1}{3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$
=$\frac{11}{24}$.

點評 本題考查概率的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意對立事件概率計算公式的合理運用.

練習冊系列答案
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