Question

2．已知函數f（x）=x³-$\frac{3}{2}$x²+1（x∈R）．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程
（Ⅱ）求函數f（x）在區間[a，2]（0＜a＜2）上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，計算f′（2），f（2），代入切線方程即可；
（Ⅱ）求出f（x）的單調區間，通過討論a的范圍，得到f（x）在[a，2]的單調性，從而求出函數的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意得：f′（x）=3x²-3x，
∴f′（2）=6，又因為f（2）=3，
所以曲線y=f（x）在在點（2，f（2））處的切線方程為y-3=6（x-2），
即y=6x-9；
（Ⅱ）因為f′（x）=3x²-3x，令f′（x）=0，解得x=0或x=1，
所以f（x）的單增區間為（-∞，0），（1，+∞），
所以f（x）的單減區間為（-∞，0），（1，+∞），
因為a＞0所以分兩種情況：
①若0＜a＜1

x	（a，1）	1	[1，2]
f′（x）	-	0	+
f（x）	單減	極小值	單增

所以當0＜a＜1，f（x）的最小值為$\frac{1}{2}$；
②若1≤a＜2，f（x）在[a，2]上單增，f（x）的最小值為f（a）=a³-$\frac{3}{2}$a²+1，
綜上所述，當0＜a＜1，f（x）的最小值為$\frac{1}{2}$，
1≤a＜2時，f（x）的最小值為：a³-$\frac{3}{2}$a²+1．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．