Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，cos2x），$\overrightarrow{b}$=（sin2x，-$\sqrt{3}$），函數f（x）=（1，cos2x）•（sin2x，-$\sqrt{3}$）
（1）若f（${\frac{θ}{2}$+$\frac{2π}{3}}$）=$\frac{6}{5}$，求cos2θ的值；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}}$]，求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的坐標運算并化簡得到解析式，然后利用倍角公式求值；
（2）由x的范圍求出大角范圍，關鍵正弦函數的有界性求值域．

解答 解：（1）向量$\vec a=（1，cos2x），\vec b=（sin2x，-\sqrt{3}）$，
則函數$f（x）=\vec a•\vec b=sin2x-\sqrt{3}cos2x=2sin（2x-\frac{π}{3}）$，
所以f（${\frac{θ}{2}$+$\frac{2π}{3}}$）=$\frac{6}{5}$為2sin（θ+π）=$\frac{6}{5}$，即sinθ=$\frac{3}{5}$，
所以cos2θ=1-2sin²θ=$\frac{7}{25}$；
（2）由$x∈[0，\frac{π}{2}]$，則$2x-\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，$sin（2x-\frac{π}{3}）∈[-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1]$，
則$f（x）∈[-\sqrt{3}，2]$．則f（x）的值域為$[-\sqrt{3}，2]$．

點評 本題考查了平面向量的坐標運算以及三角函數的化簡和性質；關鍵是正確化簡三角函數式．