Question

12．在直角坐標系xOy中，以M（-1，0）為圓心的圓與直線$x-\sqrt{3}y-3=0$相切．
（1）求圓M的方程；
（2）過點（0，3）的直線l被圓M截得的弦長為$2\sqrt{3}$，求直線l的方程．
（3）已知A（-2，0），B（2，0），圓M內的動點P滿足|PA|•|PB|=|PO|²，求$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由直線與圓相切，得到圓心到切線的距離d等于半徑r，利用點到直線的距離公式求出圓心M到已知直線的距離d，即為圓M的半徑，寫出圓M方程即可；
（2）分類討論，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求直線l的方程；
（3）設P（x，y），利用兩點間的距離公式化簡已知的等式，整理后得到x與y的關系式，再表示出兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運算法則計算所求的式子，將表示出的關系式代入得到關于y的式子，由P在圓M內部，得到P與圓心M的距離小于半徑列出不等式，即可求出所求式子的范圍．

解答 解：（1）依題意，圓M的半徑r等于圓心M（-1，0）到直線$x-\sqrt{3}y-3=0$的距離，
即$r=\frac{{|{-1-3}|}}{{\sqrt{1+3}}}=2$，∴圓M的方程為（x+1）²+y²=4．
（2）當斜率存在時，設直線方程l：y=kx+3，則圓心到直線的距離$\frac{{|{k-3}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$，
∴$k=\frac{4}{3}$，直線方程l：4x-3y+9=0
當直線斜率不存在時，則l：x=0，經檢驗滿足條件
綜上，直線方程l：4x-3y+9=0或x=0；
（3）設P（x，y），由|PA||PB|=|PO|²，
得$\sqrt{{{（{x+2}）}^2}+{y^2}}•\sqrt{{{（{x-2}）}^2}+{y^2}}={x^2}+{y^2}$，即x²-y²=2．
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=（{-2-x，-y}）•（{2-x，-y}）={x^2}-4+{y^2}=2（{{y^2}-1}）$．
∵點P在圓M內，∴（x+1）²+y²＜4，∴0≤y²＜4，∴-1≤y²-1＜3．
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值范圍為[-2，6）．

點評 此題考查了圓的標準方程，涉及的知識有：點到直線的距離公式，兩點間的距離公式，以及點與圓、直線與圓的位置關系，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．