Question

20．如圖，角α的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點A（x₁，y₁），角β=α+$\frac{2π}{3}$的終邊與單位圓交于點B（x₂，y₂），記f（α）=y₁-y₂．若角α為銳角，則f（α）的取值范圍是（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 根據三角函數的定義求出函數f（α）的表達式，即可求出處函數的值域．

解答 解：由三角函數定義知，y₁=sinα，y₂=sin（α+$\frac{2π}{3}$），
f（α）=y₁-y₂=sinα-sin（α+$\frac{2π}{3}$）=$\frac{3}{2}$sinα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα=$\sqrt{3}$sin（α-$\frac{π}{6}$）
∵角α為銳角，
∴-$\frac{π}{6}$＜α-$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{3}$，
∴-$\frac{1}{2}$＜sin（α-$\frac{π}{6}$）＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$\sqrt{3}$sin（α-$\frac{π}{6}$）＜$\frac{3}{2}$，
則f（α）的取值范圍是（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
故答案為（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題主要考查三角函數的定義以及三角恒等變換的運用，根據條件求出函數的解析式是解決本題的關鍵．