Question

設橢圓E：-=1（a＞b＞0）的離心率為，已知A（a，0），B（0，-b），且原點O到直線AB的距離為
（Ⅰ）  求橢圓E的方程；
（Ⅱ）已知過點M（1，0）的直線交橢圓E于C，D兩點，若存在動點N，使得直線NC，NM，ND的斜率依次成等差數列，試確定點N的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由e=可得a，b之間的關系，由已知可求知直線AB的方程為x-yb=0，根據點到直線的距離公式可得，從而可求a，b，進而可求橢圓的方程
（II）可先設直線CD的方程為x=ky+1，聯立方程可得（k²+2）y²+2ky-3=0，設N（x，y）
K_NC+K_ND===，整理可求
解答：解：（I）由得（2分）
由點A（a，0），B（0，-b）知直線AB的方程為x-yb=0
因此，b=2，a=（4分）
橢圓方程為（5分）
（II）設直線CD的方程為x=ky+1
聯立方程可得（k²+2）y²+2ky-3=0
故（7分）設N（x，y）
K_NC+K_ND==

==（10分）
6+2（1-x）=0可得x=4（13分）
代入①可得，回代②可得，由此說明N的軌跡為直線x=4（15分）
6+2（1-x）=0可得x=4（13分）
代入①可得，回代②可得，由此說明N的軌跡為直線x=4（15分）
點評：本題主要考查了利用橢圓的性質求解橢圓的方程，直線與橢圓相交關系的轉化及方程思想的應用，本題的難點是圓錐曲線與直線聯立中方程的求解中的計算．