Question

設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩焦點為F₁、F₂，若橢圓上存在一點Q，使∠F₁QF₂=120°，橢圓離心率e的取值范圍為（　�。�

• A．

  3

  2

  ≤e＜1
• B．

  3

  2

  ＜e＜1
• C．0＜e≤

  6

  3

• D．

  1

  2

  ＜e＜1

Answer 1

分析：依題意，橢圓的焦點在x軸上，設橢圓的上頂點為A，由∠F₁AO≥60°，即可求得它的離心率的取值范圍．

解答：解：橢圓的焦點在x軸，設橢圓的上頂點為A，
∵橢圓上存在一點Q，∠F₁QF₂=120°，
∴∠F₁AO≥60°，
∴tan∠F₁AO=

c

b

≥

3

，
∴

b

c

≤

3

3

∴

b2

c2

=

a2-c2

c2

=

a2

c2

-1≤

1

3

，故

c2

a2

≥

3

4

，
∴e=

c

a

≥

3

2

，
又e＜1．
∴

3

2

≤e＜1．
故選：A

點評：本題考查橢圓的簡單性質，求得∠F₁AO≥60°是關鍵，也是難點，考查分析與邏輯思維能力，屬于中檔題．