Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足S₁＞1，且6S_n=（a_n+1）（a_n+2），n∈N^*．
（1）求a_n與a_n+1的關系式；
（2）在滿足條件的所有數列{a_n}中，求a₂₀₁₅最小值；
（3）若數列{a_n}各項都為正數，設數列{b_n}滿足a_n（2^b_n-1）=3，并記T_n為{b_n}的前n項和，問：是否存在常數c使得對任意的正整數n，都有T_n≥c成立？如果存在，請寫出c的取值范圍；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數列的求和,數列的函數特性,數列的應用

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據賦值和遞推關系式求出遞推關系．
（2）采用分析法求出數列的關系式，進一步求出結果．
（3）利用上步結論求出參數的取值范圍．

解答： 解：（1）n=1時，a₁=2或1（因為S₁＞1所以舍1），
n≥2時，6Sn=(an+1)(an+2)=an2+3an+2，
6Sn-1=an-12+3an-1+2，
兩式相減得，6an=an2-an-12+3an-3an-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
所以a_n+1=-a_n或a_n+1-a_n=3
（2）由題可知，求a₂₀₁₅的最小值只需求a₂₀₁₄最大值，且a₂₀₁₅=-a₂₀₁₄ （a₂₀₁₄＞0）；
因為當n≤2013時，若存在n∈N^*，使得a_n+a_n+1=0，則相鄰兩項異號，不符合題意．
因此當n≤2013時，只能滿足a_n+1-a_n=3，a₂₀₁₄才能取到最大值，
所以a₂₀₁₄=a₁+2013×3=6041最大，
因此只需a₂₀₁₅=-a₂₀₁₄=-6041即為最小．
（3）因為a_n＞0，a_n+1=-a_n不成立，
所以a_n+1-a_n=3，即a_n=3n-1
滿足(3n-1)(2bn-1)=3，
得bn=log2

3n+2

3n-1

，Tn=b1+b2+…+bn=log2

5

2

•

8

5

•…•

3n+2

3n-1

=log2

3n+2

2

，
∵{T_n}單調遞增，
∴n=1時T_n最小值為log2

5

2

，因此存在常數c使T_n≥c恒成立，
這時c的取值范圍是（-∞，log₂5-1]．

點評：本題考查的知識要點：遞推關系式的應用，恒成立問題的應用，關系式的恒等變換．屬于中等題型．