Question

10．在△ABC中，O是△ABC的重心，AM是中線．
（1）求證：$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$$+\overrightarrow{OC}$=0；
（2）若P為中線AM上的一個動點，且AM=2，求$\overrightarrow{PA}$（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用三角形的重心的性值可得$\overrightarrow{OA}$=-2$\overrightarrow{OM}$，且$\overrightarrow{OM}$=$\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}$，由此可證得$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$$+\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$．
（2）設AP=x，則PM=2-x，（0≤x≤2），化簡要求的式子為2（x-1）²-2，利用二次函數的性質求得它的最小值．

解答 解：（1）證明：△ABC中，O是△ABC的重心，AM是中線，∴AO=2OM，即$\overrightarrow{OA}$=-2$\overrightarrow{OM}$．
又∵$\overrightarrow{OM}$=$\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}$，∴$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OM}$，∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$$+\overrightarrow{OC}$=-2$\overrightarrow{OM}$+2$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{0}$．
（2）若P為中線AM上的一個動點，且AM=2，設AP=x，則PM=2-x，（0≤x≤2），
∵M為線段BC的中點，∴$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PM}$，∴$\overrightarrow{PA}$（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）
=2$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PM}$=-2x•（2-x）=2x•（x-2）=2（x-1）²-2，
故當x=2時，$\overrightarrow{PA}$（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）取得最小值為-2．

點評 本題考查了三角形的中線，兩向量的和的平行四邊形法則，均值不等式及不等式的性質，是中檔題．