Question

【題目】已知雙曲線與橢圓有相同的焦點.

求雙曲線的方程；

以為中點作雙曲線的一條弦，求弦所在直線的方程.

Answer 1

【答案】

【解析】

根據橢圓的方程和題意，得到雙曲線的焦點坐標，求出，再由等軸雙曲線的性質，以及，即可求出結果；

先討論所在直線斜率不存在時，根據題意，可直接排除；再討論所在直線斜率存在時，聯立直線與雙曲線方程，根據韋達定理，以及中點坐標公式，即可求出結果.

由已知橢圓

得雙曲線的焦點為，即，

由等軸雙曲線的性質及，

則

所求雙曲線的方程為

當所在直線斜率不存在時，由對稱性可知，中點不可為，

故此時不滿足題意;

當所在直線斜率存在時，設所在直線的方程為，

聯立方程組得

①

點在所在的直線上，即 ②.

聯立①②兩式，解得，

經檢驗，直線方程即為所求.