Question

【題目】已知橢圓的短軸長為，且橢圓的一個焦點在圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知橢圓的焦距小于，過橢圓的左焦點的直線與橢圓相交于兩點，若，求

Answer 1

【答案】（1）或.（2）

【解析】

（1）由題意可知：b＝1，由焦點在圓上，可求得c，進而求得a，即可求得橢圓方程；

（2設出直線l的方程，代入橢圓，得到A、B的縱坐標的關系，利用向量轉化的縱坐標的關系，求得直線方程，利用弦長公式可得所求．

（1）因為橢圓的短軸長為，所以，則.

圓與軸的交點為，，

故或，

從而或，

故橢圓的方程為或.

（2）設，，由，得.

因為橢圓的焦距小于，所以橢圓的方程為，

當直線的斜率為0時，AF=,BF=,不滿足題意，

所以將的方程設為，代入橢圓方程，消去，得，

所以，，

將代入，得.

故 .