Question

【題目】已知橢圓，且橢圓C上恰有三點(diǎn)在集合中.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且滿足，試探究：點(diǎn)O到直線AB的距離是否為定值.如果是，請(qǐng)求出定值：如果不是，請(qǐng)明說(shuō)理由.

（3）在（2）的條件下，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）點(diǎn)O到直線AB的距離為定值（3）

【解析】

（1）利用橢圓的對(duì)稱性得橢圓必過(guò)和，結(jié)合橢圓過(guò)點(diǎn)，求得的值，從而得到橢圓的方程；

（2）設(shè)，，對(duì)直線的斜率進(jìn)行討論，當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)為，

由得，代入點(diǎn)到直線的距離公式可得答案；

（3）將弦表示成關(guān)于的函數(shù)，利用基本不等式求得弦的最大值，再代入三角形的面積公式，求得三角形面積的最大值.

（1）和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故由題意知，橢圓C必過(guò)此兩點(diǎn)

，又當(dāng)橢圓過(guò)點(diǎn)時(shí)，，∴，

此時(shí)滿足，符合題意.

所以橢圓.

又當(dāng)橢圓過(guò)點(diǎn)時(shí)，，∴，

此時(shí)，不符合題意.

綜上：橢圓.

（2）設(shè)，，若斜率存在，則設(shè)直線，

由，得，

，

由知，

，

代入得，

又原點(diǎn)到直線AB的距離，

且當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，，可得，依然成立.

所以點(diǎn)O到直線AB的距離為定值.

（3）由（2）知，

由（2）知，，

；

因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.

所以；

易知當(dāng)AB斜率不存在時(shí)，，所以，

綜上得的面積的最大值為.