【題目】已知不等式|2x-1|+|2x-2|＜x+3的解集是A．
（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）設x，y∈A，對任意a∈R，求證：xy（||x+a|-|y+a||）＜x2+y2．
【答案】（Ⅰ）A={x|0＜x＜2}（Ⅱ）見解析
【解析】
（Ⅰ）利用零點分類法，進行求解不等式；
（Ⅱ）利用絕對值不等式的性質和基本不等式進行證明。
解：（Ⅰ）當x＜
時，不等式變形為1-2x+2-2x＜x+3，解得0＜x＜；
當
時，不等式變形為2x-1+2-2x＜x+3，解得；
當x＞1時，不等式變形為2x-1+2x-2＜x+3，解得1＜x＜2；
綜上得A={x|0＜x＜2}．
（Ⅱ）∵x，y∈A，∴0＜x，y＜2，
∵||x+a|-|y+a||≤|（x+a）-（y+a）|=|x-y|，
∵0＜x，y＜2，∴-2＜x-y＜2，∴|x-y|＜2，∴||x+a|-|y+a||＜2，
∵
+
≥2
=2，∴||x+a|-|y+a||＜+，即xy（|x+a|-|y+a|）＜x2+y2．
口算題卡加應用題集訓系列答案
綜合自測系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的離心率
，左頂點為
.過點
作直線
交橢圓于另一點
，交
軸于點
，點
為坐標原點.
（1）求橢圓的方程：
（2）已知
為
的中點，是否存在定點
，對任意的直線，
恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在說明理由；
（3）過點作直線的平行線與橢圓相交，
為其中一個交點，求
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知城市
周邊有兩個小鎮
、
，其中鄉鎮位于城市的正東方
處，鄉鎮與城市相距
，
與
夾角的正切值為2，為方便交通，現準備建設一條經過城市的公路
，使鄉鎮和分別位于的兩側，過和建設兩條垂直的公路
和
，分別與公路交匯于
、
兩點，以為原點，所在直線為
軸，建立如圖所示的平面直角坐標系
.
（1）當兩個交匯點、重合，試確定此時路段長度；
（2）當
，計算此時兩個交匯點、到城市的距離之比；
（3）若要求兩個交匯點、的距離不超過
，求
正切值的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點為
，
，
是拋物線上的兩個動點，且
，過，兩點分別作拋物線的切線，設其交點為
.
（1）若直線
與
，
軸分別交于點
，
，且
的面積為
，求
的值；
（2）求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解某校今年高三畢業班報考飛行員學生的體重情況，將所得的數據整理后，畫出了如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左到右的前三組的頻率之比為1：2：3，其中體重在
的有5人.
（1）求該校報考飛行員的總人數；
（2）從該校報考飛行員的體重在
學生中任選3人，設
表示體重超過70
的學生人數，求的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某教師將寒假期間該校所有學生閱讀小說的時間統計如下圖所示，并統計了部分學生閱讀小說的類型，得到的數據如下表所示：
男生 | 女生 | |
閱讀武俠小說 | 80 | 30 |
閱讀都市小說 | 20 | 70 |
（1）是否有99.9%的把握認為“性別”與“閱讀小說的類型”有關？
（2）求學生閱讀小說時間的眾數和平均數（同一組數據用該組區間的中點值作代表）；
（3）若按照分層抽樣的方法從閱讀時間在
、
的學生中隨機抽取6人，再從這6人中隨機挑選2人介紹選取小說類型的緣由，求所挑選的2人閱讀時間都在的概率.
附：
，
.
| 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，橢圓
經過點
，且點
到橢圓的兩焦點的距離之和為
.
（l）求橢圓
的標準方程；
（2）若
是橢圓上的兩個點，線段
的中垂線
的斜率為
且直線與交于點
，
為坐標原點，求證：
三點共線．
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