Question

設正數數列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=

1

4

（a_n+1）²，
（1）求證：a_n=2n-1；
（2）設bn=

1

an•an+1

，記數列{b_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由S_n=

1

4

（a_n+1）²，當n≥2時，Sn=

1

4

(an-1+1)2，可得a_n=S_n-S_n-1，化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，由于數列{a_n}是正數數列，可得a_n-a_n-1=2．利用等差數列的通項公式即可得出．
（2）bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．利用“裂項求和”即可得出．

解答： （1）證明：∵S_n=

1

4

（a_n+1）²，∴當n≥2時，Sn=

1

4

(an-1+1)2，
∴a_n=S_n-S_n-1=

1

4

(an+1)2-

1

4

(an-1+1)2，
化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵數列{a_n}是正數數列，
∴a_n-a_n-1=2．
當n=1時，a1=S1=

1

4

(a1+1)2，解得a₁=1．
∴數列{a_n}是等差數列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．
∴數列{b_n}的前n項和T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

點評：本題考查了遞推式的應用、等差數列的定義及其通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．