Question

2．已知函數f（x）=log₂$\frac{1+x}{1-x}$．
（Ⅰ）判斷f（x）奇偶性并證明；
（Ⅱ）用單調性定義證明函數g（x）=$\frac{1+x}{1-x}$在函數f（x）定義域內單調遞增，并判斷f（x）=log₂$\frac{1+x}{1-x}$在定義域內的單調性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\frac{1+x}{1-x}$＞0，求得函數f（x）的定義域為（-1，1），關于原點對稱，再根據f（-x）=-f（x），可得函數f（x）為奇函數．
（Ⅱ）設-1＜x₁＜x₂＜1，求得 g（x₁）-g（x₂）＜0，可得g（x）在（-1，1）內為增函數．令g（x）=t，則f（x）=log₂t，故本題即求函數t在（-1，1）內的單調性相同，由此得出結論．

解答 解：（Ⅰ）由$\frac{1+x}{1-x}$＞0，求得-1＜x＜1，故函數f（x）的定義域為（-1，1），
再根據f（-x）=${log}_{2}\frac{1-x}{1+x}$=-log₂$\frac{1+x}{1-x}$=-f（x），故函數f（x）為奇函數．
（Ⅱ）設-1＜x₁＜x₂＜1，∵g（x₁）-g（x₂）=$\frac{1{+x}_{1}}{1{-x}_{1}}$-$\frac{1{+x}_{2}}{1{-x}_{2}}$=$\frac{2{（x}_{1}{-x}_{2}）}{（1{-x}_{1}）•（1{-x}_{2}）}$，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0，1-x₁＞0，1-x₂＞0，∴g（x₁）＜g（x₂），
∴g（x）=$\frac{1+x}{1-x}$在（-1，1）內為增函數．
令g（x）=t，則f（x）=log₂t，故f（x）在定義域內的單調性與t的單調性相同，
由于t在定義域（-1，1）內但地遞增，故f（x）在定義域（-1，1）內的單調遞增．

點評 本題主要考查函數的定義域，函數的單調性，復合函數的單調性，屬于中檔題．