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已知F是橢圓
x2
25
+
y2
9
=1
的右焦點,過F的弦AB滿足
AF
=3
FB
,則弦AB的中點到右準線的距離為(  )
分析:根據題意,設直線AB方程為y=k(x-4),與橢圓消去y得關于x的一元二次方程.設A(x1,y1),B(x2,y2),由韋達定理得x1+x2=
200k2
9+25k2
,x1x2=
400k2-225
9+25k2
…①,再由
AF
=3
FB
,算出x1+3x2=16…②,聯解得到x1+x2=
13
2
,得弦AB的中點橫坐標為
13
4
,再算出橢圓右準線方程為x=
25
4
,即可得出AB的中點到右準線的距離.
解答:解:∵橢圓
x2
25
+
y2
9
=1
的右焦點為F(4,0)
∴設直線AB方程為y=k(x-4),
與橢圓消去y,得(9+25k2)x2-200k2x+400k2-225=0
設A(x1,y1),B(x2,y2
可得x1+x2=
200k2
9+25k2
,x1x2=
400k2-225
9+25k2
…①
AF
=3
FB

∴4-x1=3(x2-4),可得x1+3x2=16…②
聯解①②,可得k=±
5
4
,x1+x2=
13
2

∴弦AB的中點橫坐標為
13
4

∵右準線方程為x=
a2
c
=
25
4
,∴AB的中點到右準線的距離為
25
4
-
13
4
=3,
故選:C
點評:本題給出橢圓的焦點弦被焦點分成1:3的兩段,求弦的中點到右準線的距離.著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質、直線與圓錐曲線的關系等知識,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知△ABC是橢圓
x2
25
+
y2
9
=1的內接三角形,F是橢圓的右焦點,且△ABC的重心在原點O,則A、B、C三點到F的距離之和為( 。
A、9B、15C、12D、8

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知P是橢圓
x2
25
+
y2
9
=1
上的一點,O是坐標原點,F是橢圓的左焦點且
OQ
=
1
2
OP
+
OF
),|
OQ
|=4,則點P到該橢圓左準線的距離為( 。
A、6
B、4
C、3
D、
5
2

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科目:高中數學 來源: 題型:

給定 A (-2,2),已知 B 是橢圓
x2
25
+
y2
16
=1
上的動點,F 是左焦點,當|AB|+
5
3
|BF|取最小值時,求B的坐標.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

給定 A (-2,2),已知 B 是橢圓
x2
25
+
y2
16
=1
上的動點,F 是左焦點,當|AB|+
5
3
|BF|取最小值時,求B的坐標.

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