Question

給定 A （-2，2），已知 B 是橢圓

x2

25

+

y2

16

=1上的動點，F 是左焦點，當|AB|+

5

3

|BF|取最小值時，求B的坐標．

Answer 1

分析：由橢圓的第二定義e=

|BF|

|BN|

=

3

5

可求得BN|=

5

3

|BF|，利用化折為直的思想即可求得當|AB|+

5

3

|BF|取最小值時，B 的坐標．

解答：解：記橢圓的半長軸、半短軸、半焦距分別為a、b、c，離心率為e．則a=5，b=4，c=

a2-b2

=

52-42

=3，
e=

c

a

=

3

5

，左準線為x=-

25

3

．
過點B作左準線x=-

25

3

的垂線，垂足為N，過A作此準線的垂線，垂足為M．由橢圓定義，
|BN|=

|BF|

e

=

5

3

|BF|．
于是，|AB|+

5

3

|BF|=|AB|+|BN|≥|AN|≥|AM|（定值），等號成立當且僅當B是AM與橢圓的交點時，此時B（-

5 3

2

，2）
所以，當|AB|+

5

3

|BF|取最小值時，B的坐標為（-

5 3

2

，2）．

點評：本題考查橢圓的簡單性質，突出考查橢圓第二定義的應用，考查轉化與方程思想，求得BN|=

5

3

|BF|是關鍵，也是難點，屬于中檔題．