Question

已知△ABC是橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的內接三角形，F是橢圓的右焦點，且△ABC的重心在原點O，則A、B、C三點到F的距離之和為（　　）

• A、9
• B、15
• C、12
• D、8

Answer 1

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），橢圓的離心率為e，則|AF|=a-ex₁，|BF|=a-ex₂，|CF|=a-ex₃，所以|AF|+|BF|+|CF|=3a-e（x₁+x₂+x₃），由△ABC的重心在原點O得 x₁+x₂+x₃=0，進而可得答案．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），橢圓的離心率為e，
則|AF|=a-ex₁，|BF|=a-ex₂，|CF|=a-ex₃，
所以|AF|+|BF|+|CF|=3a-e（x₁+x₂+x₃），
因為△ABC的重心在原點O，∴x₁+x₂+x₃=0，
又a=5，
∴|AF|+|BF|+|CF|=15．
故選B．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握橢圓第二定義、焦半徑公式以及三角形重心坐標公式，在學習過程中將一些結論適當加以應用，常會使問題的解決變得很簡便．