Question

已知F是橢圓D：的右焦點，過點E（2，0）且斜率為正數的直線l與D交于A、B兩點，C是點A關于x軸的對稱點．
（Ⅰ）證明：點F在直線BC上；
（Ⅱ）若，求△ABC外接圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設出直線l的方程，代入橢圓方程，利用向量共線，證明B、F、C三點共線，即點F在直線BC上；
（Ⅱ）利用，確定直線的斜率，從而可求A，B，C的坐標，即可求△ABC外接圓的方程．
解答：（Ⅰ）證明：設直線l：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₁，-y₁），F（1，0），
由得（2k²+1）x²-8k²x+8k²-2=0．
所以，．
又△=64k⁴-8（2k²+1）（4k²-1）＞0，則．…（3分）
而，，
所以（x₁-1）（kx₂-2k）-（x₂-1）（-kx₁+2k）=k[2x₁x₂-3（x₁+x₂）+4==0．…（5分）
∴B、F、C三點共線，即點F在直線BC上．…（6分）
（Ⅱ）解：因為，，
所以=（1-k²）[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]===1，
又k＞0，解得，滿足．…（9分）
代入（2k²+1）x²-8k²x+8k²-2=0，知 x₁，x₂是方程3x²-4x=0的兩根，
根據對稱性不妨設x₁=0，，即A（0，-1），C（0，1），．…（10分）
設△ABC外接圓的方程為（x-a）²+y²=a²+1，把代入方程得，
即△ABC外接圓的方程為．…（12分）
點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查圓的方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．