Question

【題目】已知0＜m＜2,動點M到兩定點F1（﹣m,0）,F2（m,0）的距離之和為4,設點M的軌跡為曲線C,若曲線C過點.

（1）求m的值以及曲線C的方程；

（2）過定點且斜率不為零的直線l與曲線C交于A,B兩點.證明：以AB為直徑的圓過曲線C的右頂點.

Answer 1

【答案】（1）, ；（2）證明見解析.

【解析】

(1)根據橢圓的定義可知曲線C是以兩定點F1,F2為焦點,長半軸長為2的橢圓,再代入點求得橢圓中的基本量即可.

(2)設直線,再聯立橢圓的方程,得出韋達定理,代入進行計算可得證明即可.

（1）解：設M（x,y）,因為|MF1|+|MF2|=4＞2m,所以曲線C是以兩定點F1,F2為焦點,長半軸長為2的橢圓,所以a=2.

設橢圓C的方程為1（b＞0）,代入點得b2=1,

由c2=a2﹣b2,得c2=3,

所以,故曲線C的方程為；

（2）證明：設直線l：x=ty,A（x1,y1）,B（x2,y2）,

橢圓的右頂點為P（2,0）,聯立方程組

消去x得0.

△＞0,y1+y2,y1y2,

所以 ,∴,

故點P在以AB為直徑的圓上,即以AB為直徑的圓過曲線C的右頂點.