Question

【題目】某汽車生產企業上年度生產一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為14萬元/輛，年銷售量為輛．本年度為適應市場需求，計劃提高產品檔次，適當增加投入成本，若每輛車投入成本增加的比例為(0＜＜1)，則出廠價相應提高的比例為0.6，年銷售量也相應增加．已知年利潤＝(每輛車的出廠價－每輛車的投入成本)×年銷售量．

（1）若年銷售量增加的比例為0.5，為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例應在什么范圍內？

（2）若年銷售量關于的函數為為常數），則當為何值時，本年度的年利潤最大？

Answer 1

【答案】（1）；

（2）

【解析】

（1）首先表示出本年度的年利潤，根據原題中已知的年利潤=（每輛車的出廠價-每輛車的投入成本）×年銷售量可表示出來．然后列出不等式得到x的取值范圍；

（2）根據題意，要使本年度的年利潤最大，首先表示出本年度年利潤的函數表達式，然后求出此函數的導數為零時x的值，由此判斷出函數的單調性，可知此時的x值對應的函數值是函數的最大值．

解：（1）由題意得：本年度每輛車的投入成本為，

出廠價為，年銷售量為，

則本年度的利潤為：

由

得，即所求的范圍為；

（2）本年度的利潤為

，

則，

由，解得或，

當時，，單調遞增，

當時，，單調遞減，

當時，本年度的年利潤最大.