Question

正方體A₁B₁C₁D₁-ABCD的棱長為1，則下列四個問題
（1）對角線A₁C與所有棱所成角的正切值都等于
（2）點A、C到面BC₁D的距離相等
（3）AD₁與面BC₁D所成角為0°
（4）面A₁ACC₁⊥面BC₁D
其中正確的個數有（ ）
A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：利用空間角的定義和距離公式和面面垂直的判定定理分別判斷．
解答：解：（1）根據正方體的對稱性可知對角線A₁C與所有棱所成角都相同，則對應的角的正切值為，
所以（1）正確．
（2）如圖，連結AP，則AP∥面BC₁D，所以點A到平面BC₁D的距離和點P到平面BC₁D的距離相等，又因為OCC₁P為矩形，所以C，P到平面BC₁D的距離相等，
所以點A、C到面BC₁D的距離相等，所以（2）正確．
（3）因為AD₁?ABC₁D₁，所以AD₁?面BC₁D，所以AD₁與面BC₁D所成角為0°，
所以（3）正確．
（4）在正方體中，BD⊥AA₁C₁C，因為BD?BC₁D，所以面A₁ACC₁⊥面BC₁D成立，
所以（4）正確．
故正確的個數有4個．
故選D．
點評：本題主要考查空間直線，平面之間距離和夾角的求法，要求熟練掌握空間角和空間距離的定義和公式．