Question

19．在數(shù)列{a_n}及{b_n}中，a_n+1=a_n+b_n+$\sqrt{a_n^2+b_n^2}$，b_n+1=a_n+b_n-$\sqrt{a_n^2+b_n^2}$，a₁=1，b₁=1．設(shè)${c_n}={2^n}（{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}}）$，則數(shù)列{c_n}的前n項和為2ⁿ⁺²-4．

Answer 1

分析 由a_n+1=a_n+b_n+$\sqrt{a_n^2+b_n^2}$，b_n+1=a_n+b_n-$\sqrt{a_n^2+b_n^2}$，a₁=1，b₁=1．可得a_n+1+b_n+1=2（a_n+b_n），a₁+b₁=2．a(chǎn)_n+1b_n+1=$（{a}_{n}+{b}_{n}）^{2}$-$（{a}_{n}^{2}+{b}_{n}^{2}）$=2a_nb_n，即a_nb_n=2^n-1．分別利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=a_n+b_n+$\sqrt{a_n^2+b_n^2}$，b_n+1=a_n+b_n-$\sqrt{a_n^2+b_n^2}$，a₁=1，b₁=1．
∴a_n+1+b_n+1=2（a_n+b_n），a₁+b₁=2．
∴a_n+b_n=2ⁿ．
另一方面：a_n+1b_n+1=$（{a}_{n}+{b}_{n}）^{2}$-$（{a}_{n}^{2}+{b}_{n}^{2}）$=2a_nb_n，
∴a_nb_n=2^n-1．
∴${c_n}={2^n}（{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}}）$=${2}^{n}•\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{{a}_{n}{b}_{n}}$=2ⁿ•$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n-1}}$=2ⁿ⁺¹，
則數(shù)列{c_n}的前n項和=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2ⁿ⁺²-4．
故答案為：2ⁿ⁺²-4．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．