Question

20．設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，已知${（{a_7}-1）^3}+2016（{a_7}-1）=-1$，${（{a_{2010}}-1）^3}+2016（{a_{2010}}-1）=1$，則下列結論正確的是（　　）

• A． S₂₀₁₆=2016，a₂₀₁₀＜a₇
• B． S₂₀₁₆=2016，a₂₀₁₀＞a₇
• C． S₂₀₁₆=-2016，a₂₀₁₀＜a₇
• D． S₂₀₁₆=-2016，a₂₀₁₀＞a₇

Answer 1

分析 由題意構造函數f（x）=x³+2013x，求出f′（x），判斷出函數f（x）的單調性、奇偶性，由已知的兩等式求出f（a₄-1）、f（a₂₀₁₀-1），由奇函數的性質求出f（1-a₂₀₁₀），由函數的單調性得到a₄-1=1-a₂₀₁₀即a₄+a₂₀₁₀=2，根據等差數列的性質、前n項和公式求出S₂₀₁₆，根據單調性判斷出a₇與a₂₀₁₀的大小．

解答 解：令f（x）=x³+2016x，則f′（x）=3x²+2016＞0，
所以f（x）在R上單調遞增，且f（x）為奇函數．
由條件得，f（a₇-1）=-1，f（a₂₀₁₀-1）=1，
即f（1-a₂₀₁₀）=-1，則a₇-1=1-a₂₀₁₀，從而a₇+a₂₀₁₀=2，
又等差數列{a_n}的前n項和為S_n，
所以${S}_{2016}=\frac{2016（{a}_{1}+{a}_{2016}）}{2}$=$\frac{2016（{a}_{7}+{a}_{2010}）}{2}$=2016，
因為f（a₇-1）=-1，f（a₂₀₁₀-1）=1，f（x）在R上單調遞增，
所以a₂₀₁₀-1＞a₇-1，即a₂₀₁₀＞a₇，
故選：B．

點評 本題考查等差數列的性質、前n項和的公式的靈活應用，函數的單調性與導數的關系，考查了構造函數、函數思想解決問題的能力，屬于中檔題．