Question

11．已知定義：在數列{a_n}中，若a_n²-a_n-1²=p（n≥2，n∈N^*，p為常數），則稱數列{a_n}為等方差數列，下列判斷：
①{（-1）ⁿ}是“等方差數列”；
②若{a_n}是“等方差數列”，則數列{${a}_{n}^{2}$}是等差數列；
③若{a_n}既是“等方差數列”，又是等差數列，則該數列是常數列；
④若{a_n}是“等方差數列”，則數列{a_kn}（k∈N^*，k為常數）可能也是“等方差數列”．
其中正確的結論是①②③④．（寫出所有正確結論的編號）

Answer 1

分析 利用“等方差數列”與“等差數列”的定義及其性質即可逐一判斷出結論．

解答 解對于①，∵a_n=（-1）ⁿ，∴a_n²-a_n-1²=0，∴數列{a_n}為等方差數列，正確；
對于②，{a_n}是“等方差數列”，∴a_n²-a_n-1²=p（n≥2，n∈N^*，p為常數），則數列{a_n²}是等差數列，正確；
對于③，若{a_n}既是“等方差數列”，又是等差數列，設公差為d，
∴n≥2時，a_n²-a_n-1²=[a₁+（n-1）d]²-[a₁+（n-2）d]²=d[2a₁+（2n-3）d]為常數，必然d=0，
則該數列是常數列，正確；
對于④，取a_n=2，{a_n}是“等方差數列”，則數列{a_kn}（k∈N^*，k為常數）可能還是“等方差數列”，正確；
故答案為：①②③④

點評 本題考查了等差數列的通項公式及其性質、新定義、“等方差數列”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．