Question

2．已知函數φ（x）=$\frac{a}{x+1}$，a為常數．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=$\frac{9}{2}$，求函數f（x）的單調區間；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且對任意x₁，x₂∈[1，2]，x₁≠x₂，都有$\frac{g（{x}_{2}）-g（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜-1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對f（x）求導，利用f′（x）＞0判斷函數單調增，f′（x）＜0函數單調減，求出單調區間；
（2）由題意，構造函數h（x）=g（x）+x，根據h（x）在[1，2]上的單調性，再利用導數討論h（x）的單調性與最值問題，從而求出a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx+φ（x）=lnx+$\frac{a}{x+1}$，（x＞0）；
∴f′（x）=$\frac{{x}^{2}+（2-a）x+1}{{x（x+1）}^{2}}$，
當a=$\frac{9}{2}$時，令f′（x）＞0，即x²-$\frac{5}{2}$x+1＞0，
解得x＞2，或x＜$\frac{1}{2}$，
∴函數f（x）的單調增區間為（0，$\frac{1}{2}$），（2，+∞），單調減區間為（$\frac{1}{2}$，2）；
（2）∵$\frac{g（{x}_{2}）-g（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜-1，
∴$\frac{g（{x}_{2}）-g（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$+1＜0，
即 $\frac{g{（x}_{2}）{+x}_{2}-[g{（x}_{1}）{+x}_{1}]}{{x}_{2}{-x}_{1}}$＜0；
設h（x）=g（x）+x，依題意，h（x）在（0，2]上是減函數；
當1≤x≤2時，h（x）=lnx+$\frac{a}{x+1}$+x，h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{（x+1）}^{2}}$+1；
令h′（x）≤0，解得a≥$\frac{{（x+1）}^{2}}{x}$+（x+1）²=x²+3x+$\frac{1}{x}$+3對x∈[1，2]時恒成立；
設m（x）=x²+3x+$\frac{1}{x}$+3，則m′（x）=2x+3-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∵1≤x≤2，∴m′（x）=2x+3-$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴m（x）在[1，2]上是增函數，則當x=2時，m（x）的最大值為$\frac{27}{2}$，
∴a≥$\frac{27}{2}$．

點評 本題考查了導數的綜合應用問題，也考查了構造函數來研究函數的單調性與最值問題和分類討論思想，是綜合性題目．