Question

11．已知（1-$\frac{x}{2}$）²ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ（x∈N^*）
（1）當n=5時，求系數a_i的最大值和最小值；
（2）若a₃=-$\frac{1}{2}$，求n的值；
（3）求證：a_n＜$\frac{2^n}{{\sqrt{2n+1}}}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）當n=5時，$（1-\frac{x}{2}）^{10}$=${a}_{0}+{a}_{1}x+{a}_{2}{x}^{2}$+…+${a}_{10}{x}^{10}$，a_i=${∁}_{10}^{i}$$（-\frac{1}{2}）^{i}$，假設|a_k|最大．則$\left\{\begin{array}{l}{{∁}_{10}^{k}（\frac{1}{2}）^{k}≥{∁}_{10}^{k+1}（\frac{1}{2}）^{k+1}}\\{{∁}_{10}^{k}（\frac{1}{2}）^{k}≥{∁}_{10}^{k-1}（\frac{1}{2}）^{k-1}}\end{array}\right.$，解得k即可得出．
（2）a₃=-$\frac{1}{2}$，則${∁}_{2n}^{3}$$（-\frac{1}{2}）^{3}$=-$\frac{1}{2}$，化為：2n³-3n²+n-6=0，解得n．
（3）a_n=${∁}_{2n}^{n}$$（-\frac{1}{2}）^{n}$≤${∁}_{2n}^{n}$$（\frac{1}{2}）^{n}$，要證明a_n＜$\frac{2^n}{{\sqrt{2n+1}}}$（n∈N^*）．只要證明：${∁}_{2n}^{n}$$（\frac{1}{2}）^{n}$＜$\frac{2^n}{{\sqrt{2n+1}}}$（n∈N^*）．即要證明：${∁}_{2n}^{n}$＜$\frac{{4}^{n}}{\sqrt{2n+1}}$．利用數學歸納法證明即可得出．

解答 （1）解：當n=5時，$（1-\frac{x}{2}）^{10}$=${a}_{0}+{a}_{1}x+{a}_{2}{x}^{2}$+…+${a}_{10}{x}^{10}$，a_i=${∁}_{10}^{i}$$（-\frac{1}{2}）^{i}$，假設|a_k|最大．則$\left\{\begin{array}{l}{{∁}_{10}^{k}（\frac{1}{2}）^{k}≥{∁}_{10}^{k+1}（\frac{1}{2}）^{k+1}}\\{{∁}_{10}^{k}（\frac{1}{2}）^{k}≥{∁}_{10}^{k-1}（\frac{1}{2}）^{k-1}}\end{array}\right.$，解得$\frac{8}{3}≤k≤\frac{11}{3}$，解得k=3．∴當k=3時，a₃=${∁}_{10}^{3}（-\frac{1}{2}）^{3}$=-15最小．
a₂=${∁}_{10}^{2}（-\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{45}{4}$，a₄=${∁}_{10}^{4}$$（-\frac{1}{2}）^{4}$=$\frac{105}{8}$＞a₂，∴a₄最大．
（2）解：a₃=-$\frac{1}{2}$，則${∁}_{2n}^{3}$$（-\frac{1}{2}）^{3}$=-$\frac{1}{2}$，化為：2n³-3n²+n-6=0，∴（n-2）（2n²+n+3）=0，解得n=2．
（3）證明：∵a_n=${∁}_{2n}^{n}$$（-\frac{1}{2}）^{n}$≤${∁}_{2n}^{n}$$（\frac{1}{2}）^{n}$，要證明a_n＜$\frac{2^n}{{\sqrt{2n+1}}}$（n∈N^*）．只要證明：${∁}_{2n}^{n}$$（\frac{1}{2}）^{n}$＜$\frac{2^n}{{\sqrt{2n+1}}}$（n∈N^*）．即要證明：${∁}_{2n}^{n}$＜$\frac{{4}^{n}}{\sqrt{2n+1}}$．下面利用數學歸納法證明：（i）當n=1時，${∁}_{2}^{1}$=2＜$\frac{4}{\sqrt{3}}$，因此成立．
（ii）假設當n=k∈N^*時，${∁}_{2k}^{k}$＜$\frac{{4}^{k}}{\sqrt{2k+1}}$．則n=k+1時，${∁}_{2k+2}^{k+1}$=$\frac{（2k+2）!}{（k+1）!（k+1）!}$=$\frac{（2k+2）（2k+1）（2k）!}{（k+1）^{2}k!k！}$＜$\frac{2（2k+1）}{（k+1）}$•$\frac{{4}^{k}}{\sqrt{2k+1}}$=$\frac{\sqrt{2k+1}•{4}^{k+1}}{\sqrt{4{k}^{2}+8k+4}}$＜$\frac{\sqrt{2k+1}•{4}^{k+1}}{\sqrt{4{k}^{2}+8k+3}}$＜$\frac{{4}^{k+1}}{\sqrt{2k+3}}$，因此n=k+1時也成立．
綜上可得：a_n＜$\frac{2^n}{{\sqrt{2n+1}}}$（n∈N^*）成立．

點評 本題考查了二項式定理的應用、組合數的計算公式、數學歸納法、不等式的性質、放縮法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．