Question

5．方程$\frac{x|x|}{81}+\frac{y|y|}{49}=λ（λ＜0）$的曲線即為y=f（x）的圖象，對于函數y=f（x），下列命題中正確的是②③⑤．（請寫出所有正確命題的序號）
①函數y=f（x）的圖象關于直線y=x對稱；
②函數y=f（x）在R上是單調遞減函數；
③函數y=f（x）的圖象不經過第一象限；
④函數F（x）=9f（x）+7x至少存在一個零點；
⑤函數y=f（x）的值域是R．

Answer 1

分析 不妨取λ=-1，根據x、y的正負去絕對值，將方程化簡，得到相應函數在各個區間上的表達式，由此作出函數的圖象，即可得出結論．

解答 解：不妨取λ=-1，方程為$\frac{x|x|}{81}+\frac{y|y|}{49}$=-1，圖象如圖所示．
對于①，不正確，②③⑤，正確
由F（x）=9f（x）+7x=0得f（x）=-$\frac{7}{9}$x．
因為雙曲線的漸近線為y=±$\frac{7}{9}$x
所以函數y=f（x）與直線y=-$\frac{7}{9}$x無公共點，
因此F（x）=9f（x）+7x不存在零點，可得④不正確．
故答案為：②③⑤．

點評 本題給出含有絕對值的二次曲線，要我們判斷并于曲線性質的幾個命題的真假．著重考查了含有絕對值的函數式的化簡、函數的圖象與性質、直線與圓錐曲線位置關系等知識，屬于難題．