Question

14．已知函數f（x）=cosx（sinx-$\sqrt{3}$cosx）$+\frac{\sqrt{3}}{2}$，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（Ⅱ）若函數g（x）=f（x+a）為偶數，求|a|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期，最后將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區間上，解不等式得函數的單調遞增區間；
（Ⅱ）根據三角函數的平移變換，求解g（x）的解析式，圖象關于y軸對稱，可求|a|的最小值．

解答 解：（Ⅰ）函數f（x）=cosx（sinx-$\sqrt{3}$cosx）$+\frac{\sqrt{3}}{2}$，x∈R．
=sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}（2co{s}^{2}x-1）$
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{3}$）
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z
解得：$kπ-\frac{π}{12}$≤x≤$kπ+\frac{5π}{12}$
∴f（x）的單調遞增區間為[$kπ-\frac{π}{12}$，$kπ+\frac{5π}{12}$]，k∈Z
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∵g（x）=f（x+a），且是偶函數，
∴g（x）=sin（2x+2a-$\frac{π}{3}$），
g（x）是偶函數，可得2a-$\frac{π}{3}$=$kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z
解得：a=$\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{12}$，k∈Z
當k=-1時，|a|的最小值為$\frac{π}{12}$．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．