Question

15．在平面直角坐標系xOy中，直線l：ax+by+c=0被圓x²+y²=16截得的弦的中點為M，且滿足a+2b-c=0，當|OM|取得最大值時，直線l的方程是x+2y+5=0．

Answer 1

分析 根據直線和圓相交的性質，利用條件消去參數a，b，c，得到點M的軌跡方程，當|OM|取得最大值時，求出M的坐標，即可求出直線l的方程．

解答 解：若直線l：ax+by+c=0被圓C：x²+y²=16截得的弦的中點為M，則滿足OM⊥l，
設M（x，y），則$\frac{y}{x}=\frac{b}{a}$，即a=$\frac{bx}{y}$
∵a+2b-c=0，
∴c=a+2b=$\frac{bx}{y}$+32，
將a，c代入直線ax+by+c=0得$\frac{bx}{y}$x+by+$\frac{bx}{y}$+2b=0，
整理得x²+y²+x+2y=0，
故點M的軌跡方程為x²+y²+x+2y=0，即（x+0.5）²+（y+1）²=1.25，
由直線y=2x與圓x²+y²+x+2y=0聯立，可得x=0或-1，
當|OM|取得最大值時，M（-1，-2），∴直線l的方程為y+2=-$\frac{1}{2}$（x+1），即x+2y+5=0．
故答案為：x+2y+5=0．

點評 本題主要考查與圓有關的軌跡問題．利用直線和圓的位置關系是解決本題的關鍵．