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已知函數f(x)=x3-2ax2+3x(x∈R).

(1)若a=1,點P為曲線y=f(x)上的一個動點,求以點P為切點的切線斜率取最小值時的切線方程;

(2)若函數y=f(x)在(0,+∞)上為單調增函數,試求滿足條件的最大整數a.

 

(1);(2)1.

【解析】

試題分析:(1)先求函數的導數,再利用配方法求出導數最小值及導數取最小值時的,從而確定斜率最小的切線的斜率及切點坐標,寫出該切線的方程;

(2) 若函數y=f(x)在(0,+∞)上為單調增函數,則在上恒成立,可由分離變量法求出的取值范圍,并確定滿足條件的最大整數a.

試題解析:【解析】
(1)設切線的斜率為

, 2分

時,

所以所求切線的方程為

6分

(2)因為,要使為單調增函數,

必須滿足

即對任意的,恒有 8分

,而當且僅當時,等號成立.

所以 12分

所求滿足條件的值為1.

考點:1、導數的幾何意義;2、導數在研究函數性質中的應用;3、分離變量法求參數的取值范圍.

 

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