Question

對任意正偶數n，求證：

1-+-+…+-=2（++…+）.

Answer 1

分析：注意n為正偶數，可設n=2k，第一步證n=2時命題成立，歸納假設n=2k（k∈N^*）等式成立，與它連續的是2k+2，相當于由k到k+1，應注意體會數學歸納法的這種變形使用.

證明：（1）當n=2時，等式左邊=1-=，等式右邊=2（）=.

∴左邊=右邊，等式成立.

（2）假設n=2k（k∈N^*）時

1-+-+…+-=2（++…+）等式成立.

當n=2k+2時，（k∈N^*）

1-+-+…+-+-

=2（++…+）+-

=2（++…+++）+--+

-

=2［++…+］.

∴對n=2k+2，（k∈N^*）等式成立.

由（1）（2）知對一切正偶數n=2k（k∈N^*），等式成立.