Question

在平面內(nèi)，設(shè)到定點(diǎn)F（0，2）和軸距離之和為4的點(diǎn)P軌跡為曲線C，直線過(guò)點(diǎn)F，交曲線C于M，N兩點(diǎn)。
（1）說(shuō)明曲線C的形狀，并畫(huà)出圖形；
（2）求線段MN長(zhǎng)度的范圍。

Answer 1

曲線C是焦點(diǎn)在F（0，2），準(zhǔn)線分別為和
頂點(diǎn)分別是（0，-1）和（0，3）的兩條拋物線一部分組成的封閉圖形ABCD

解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由已知得：
   1分
當(dāng)時(shí)，，
化簡(jiǎn)得：
當(dāng)時(shí)，
化簡(jiǎn)得：   3分
如圖：曲線C是焦點(diǎn)在F（0，2），準(zhǔn)線分別為和
頂點(diǎn)分別是（0，-1）和（0，3）的兩條拋物線一部分組成的封閉圖形ABCD

……6分
（2）當(dāng)M、N在兩支拋物線上時(shí)，過(guò)M、N分別作相應(yīng)準(zhǔn)線的垂線，垂足分別是M₁、N₁，由拋物線定義，MM₁=MF；NN₁=NF，
設(shè)M、N的縱坐標(biāo)分別為
當(dāng)過(guò)BD時(shí)，|MN|最小，最小值為4，
當(dāng)過(guò)C（或A）時(shí)，|MN|最大，
此時(shí)直線的方程為和拋物線
另一個(gè)交點(diǎn)，|MN|最大值為，
|MN|范圍是   10分
當(dāng)M、N都在上支拋物線上時(shí)，易求|MN|范圍也是
由上綜述：|MN|范圍是   13分