Question

已知函數f（x）=e^x-ax-1（a＞0，e為自然對數的底數）．
（1）求函數f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥0對任意的x∈R恒成立，求實數a的值．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：（1）求函數的導數，利用函數的單調性和導數之間的關系，即可求函數f（x）的最小值；
（2）要使f（x）≥0對任意的x∈R恒成立，則只需求出f（x）的最小值即可得到結論．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x-ax-1（a＞0），
∴f'（x）=e^x-a，
由f'（x）=e^x-a=0得x=lna，
由f'（x）＞0得，x＞lna，此時函數單調遞增，
由f'（x）＜0得，x＜lna，此時函數單調遞減，
即f（x）在x=lna處取得極小值且為最小值，
最小值為f（lna）=e^lna-alna-1=a-alna-1．
（2）若f（x）≥0對任意的x∈R恒成立，
等價為f（x）_min≥0，
由（1）知，f（x）_min=a-alna-1，
設g（a）=a-alna-1，
則g'（a）=1-lna-1=-lna，
由g'（a）=0得a=1，
由g'（x）＞0得，0＜x＜1，此時函數單調遞增，
由g'（x）＜0得，x＞1，此時函數單調遞減，
∴g（a）在a=1處取得最大值，即g（1）=0，
因此g（a）≥0的解為a=1，
∴a=1．

點評：本題主要考查函數的單調性和導數的之間關系，以及不等式恒成立問題，將不等式恒成立轉化為求函數的最值是解決本題的關鍵．