Question

設函數e^x|lnx|=1兩個不同的實根為x₁，x₂，則（　　）

• A、x₁x₂＜0
• B、x₁x₂=1
• C、0＜x₁x₂＜1
• D、x₁x₂＞1

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：函數的性質及應用

分析：由題意f（x）=e^-x-|lnx|的零點，即方程e^-x=|lnx|的實數根．因此在同一坐標系內作出函數y=e^-x與y=|lnx|的圖象，并設
x₁＜x₂，可得lnx₂＜-lnx₁，推出x₁x₂＜1．再根據x₁＞

1

e

且x₂＞1得到x₁x₂＞

1

e

，由此即可得到本題的答案．

解答： 解：函數f（x）=e^-x-|lnx|的零點，即方程e^-x=|lnx|的實數根
同一坐標系內作出函數y=e^-x與y=|lnx|的圖象，如圖所示
不妨設x₁＜x₂，可得0＜x₁＜1且x₂＞1
∵0＜-lnx₁＜1，∴lnx₁＞-1，可得x₁＞

1

e

∵x₂＞1，∴x₁x₂＞

1

e

又∵y=e^-x是減函數，可得lnx₂＜-lnx₁，
∴lnx₂+lnx₁＜0，得lnx₁x₂＜0，即x₁x₂＜1
綜上所述，可得

1

e

＜x₁x₂＜1
故選：C

點評：本題給出含有指數和對數的基本初等函數，求函數的兩個零點滿足的條件，著重考查了指數函數、對數函數的圖象與性質，以及函數的零點與方程根的關系等知識點，屬于中檔題．