Question

9．定義在正實數集上的函數f（x）滿足：f（3x）=3f（x），且1≤x≤3時f（x）=1-|x-2|，若f（x）=f（2017），
則最小的實數x為413．

Answer 1

分析 求出f（2017）=170，由${3}^{n}（1-|\frac{x}{{3}^{n}}-2|）$=170，可得1-$\frac{170}{{3}^{n}}$＞0，n最小取5，可得|$\frac{x}{{3}^{5}}$-2|=1-$\frac{170}{{3}^{5}}$，即可得出結論．

解答 解：∵定義在正實數集上的函數f（x）滿足：f（3x）=3f（x），
∴$f（x）={3}^{n}f（\frac{x}{{3}^{n}}）$，
∴f（2017）=${3}^{6}f（\frac{2017}{{3}^{6}}）$，
∵1＜$\frac{2017}{{3}^{6}}$＜3，
∴f（$\frac{2017}{{3}^{6}}$）=1-|$\frac{2017}{{3}^{6}}$-2|=$\frac{170}{{3}^{6}}$，
∴f（2017）=170，
由${3}^{n}（1-|\frac{x}{{3}^{n}}-2|）$=170，可得1-$\frac{170}{{3}^{n}}$＞0，n最小取5，可得|$\frac{x}{{3}^{5}}$-2|=1-$\frac{170}{{3}^{5}}$
∴x=413，
故答案為413．

點評 本題考查抽象函數，考查函數性質的運用，求出n最小取5，可得|$\frac{x}{{3}^{5}}$-2|=1-$\frac{170}{{3}^{5}}$是關鍵，難度大．