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20.設數列{an}的前n項和Sn,若$\frac{{{a_1}^2}}{1^2}$+$\frac{{{a_2}^2}}{2^2}$+$\frac{{{a_3}^2}}{3^2}$+…+$\frac{{{a_n}^2}}{n^2}$=4n-4,且an≥0,則S100等于(  )
A.5048B.5050C.10098D.10100

分析 根據題意推知數列{an}的通項公式是an=2n(n≥2),然后由前n項和公式進行解答即可.

解答 解:當n=1時,$\frac{{{a_1}^2}}{1^2}$=0,則a1=0.
當n≥2時,$\frac{{{a_1}^2}}{1^2}$+$\frac{{{a_2}^2}}{2^2}$+$\frac{{{a_3}^2}}{3^2}$+…+$\frac{{{a}_{n-1}}^{2}}{(n-1)^{2}}$+$\frac{{{a_n}^2}}{n^2}$=4n-4,①
$\frac{{{a_1}^2}}{1^2}$+$\frac{{{a_2}^2}}{2^2}$+$\frac{{{a_3}^2}}{3^2}$+…+$\frac{{{a}_{n-1}}^{2}}{(n-1)^{2}}$=4n-8,②
$\frac{{{a_1}^2}}{1^2}$+$\frac{{{a_2}^2}}{2^2}$+$\frac{{{a_3}^2}}{3^2}$+…+$\frac{{{a_n}^2}}{n^2}$+$\frac{{{a}_{n+1}}^{2}}{(n+1)^{2}}$=4n,③
由①-②得到:$\frac{{{a_n}^2}}{n^2}$=4,
∵an≥0,
∴an=2n,
由③-①得到:$\frac{{{a}_{n+1}}^{2}}{(n+1)^{2}}$=4,
∴an+1=2n+2,
∴an+1-an=2,
∴數列{an}是等差數列,公差是2,
綜上所述,an=$\left\{\begin{array}{l}{0(n=1)}\\{2n(n≥2)}\end{array}\right.$,
∴S100=S1+S2+S3++…+S100=0+$\frac{4+2×100}{2}$×(100-1)=10098.
故選:C.

點評 本題考查了數列求和.解題的關鍵是求得數列{an}的通項公式,在求該通項公式時,要分類討論:n=1和n≥2兩種情況,以防錯解.

練習冊系列答案
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