Question

8．已知函數f（x）=lg（a-ax-x²）．
（Ⅰ）若函數f（x）存在，求a的取值范圍．
（Ⅱ） 若f（x）在x∈（2，3）上有意義，求a的取值范圍．
（Ⅲ）若f（x）＞0的解集為（2，3），求a的值．

Answer 1

分析 第（Ⅰ）問是能成立問題，相當于存在實數x，使a-ax-x²＞0成立；
第（Ⅱ）問是恒成立問題，等價于ϕ（x）=a-ax-x²＞0在（2，3）恒成立，即ϕ（x）的最小值大于0；
第（Ⅲ）問是恰成立問題，等價于不等式a-ax-x²＞1的解集為（2，3），于是有x²+ax+1-a＜0，等價于方程x²+ax+1-a=0的兩個根為2和3．

解答 解：（Ⅰ） f（x）的定義域非空，相當于存在實數x，使a-ax-x²＞0成立，
即ϕ（x）=a-ax-x²的最大值大于0成立，$\begin{array}{l}{ϕ_{max}}（x）=\frac{{-4a-{a^2}}}{-4}=\frac{{4a+{a^2}}}{4}＞0，\end{array}$解得    a＜-4或a＞0．
（Ⅱ）f（x）在區間（2，3）上有意義，等價于ϕ（x）=a-ax-x²＞0在（2，3）恒成立，即ϕ（x）的最小值大于0．
解不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{a}{2}≤\frac{5}{2}，}&{\;}\\{ϕ（3）≥0，}&{\;}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{a}{2}＞\frac{5}{2}，}&{\;}\\{ϕ（2）≥0，}&{\;}\end{array}}\right.$
$\left\{{\begin{array}{l}{a≥-5，}&{\;}\\{a-3a-9≥0，}&{\;}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{a＜-5，}&{\;}\\{a-2a-4≥0}&{\;}\end{array}}\right.$解得     $a≤-\frac{9}{2}$．
（Ⅲ）f（x）＞0的解集為（2，3），等價于不等式a-ax-x²＞1的解集為（2，3）；于是有x²+ax+1-a＜0，
這等價于方程x²+ax+1-a=0的兩個根為2和3，于是可解得a=-5．

點評 本題考查對數函數的性質，考查能成立、恒成立、恰成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．