Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點的直線與橢圓相切，直線與軸交于點，當為何值時的面積有最小值？并求出最小值.

Answer 1

（1）
（2）時，有最小值.

試題分析：解：（Ⅰ）設方程為，拋物線的焦點為，
則.
雙曲線的離心率  所以，得
∴橢圓C的方程為.                 4分
（Ⅱ）設直線的方程為，由對稱性不妨設
由消得：    6分
依題意，得： 8分
由，令，得，即
 10分（用表示一樣給分）

當且僅當即時取等號.                      12分
因為故時，有最小值.           13分
點評：主要是考查了直線與橢圓的位置關系的運用，屬于中檔題。