Question

若函數f(x)=

1

3

x3-x在(a，10-a2)上有最小值，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：先求出函數的導函數，求出函數的單調區間，再根據已知在區間（a，10-a²）有最小值確定出參數a的取值范圍．

解答：解：由已知，f′（x）=x²-1，有x²-1≥0得x≥1或x≤-1，
因此當x∈[1，+∞），（-∞，-1]時f（x）為增函數，在x∈[-1，1]時f（x）為減函數．
又因為函數f(x)=

1

3

x3-x在(a，10-a2)上有最小值，所以開區間（a，10-a²）須包含x=1，
所以函數f（x）的最小值即為函數的極小值f（1）=-

2

3

，
又由f（x）=-

2

3

可得

1

3

x³-x=-

2

3

，于是得（x-1）²（x+2）=0
即有f（-2）=-

2

3

，因此有以下不等式成立：

-2≤a＜1 10-a2＞1

，可解得-2≤a＜1，
答案為：[-2，1）

點評：本題考查函數的導數，利用導數求函數的極值和最值的問題，分類討論的思想方法．本題需要注意：在開區間內函數的極小值（本題中也是最小值）在函數導數為零的點處取得，即若x₀∈（a，b），且f′（x₀）=0，則函數f（x）的極值是f（x₀）；再由題意可得這個極值也是函數的最值．