Question

如圖，B，C分別是∠A兩邊上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）若a=2，試求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）通過(guò)正弦定理以及兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)表達(dá)式，求出A的大小．
（II）通過(guò)余弦定理以及基本不等式求出bc的最大值，然后求出面積的最大值．
解答：解：（I）因?yàn)?acosA=ccosB+bcosC，
由正弦定理可知3sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC，
即sin（B+C）=3sinAcosA，
在三角形中，B+C=π-A，∴sinA=3sinAcosA
∴cosA=．
（II）∵a²=b²+c²-2bccosA，
∴bc=b²+c²-4≥2bc-4
∴bc≤3，
∵cosA=
∴sinA=
∴S_△ABC=bcsinA≤×3×=
當(dāng)且僅b=c=時(shí)取等號(hào)
∴△ABC面積的最大值是．
點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，考查三角形的面積的求法，考查計(jì)算能力．